Lógica formal
Lógica formal. INTRODUCCIÓN.
El lenguaje tiene la característica de poder ser utilizado de múltiples formas; estos constituyen los infinitos usos posibles del lenguaje. A los usos de un lenguaje se les llama dominio de una lengua. El dominio de una lengua consiste en la capacidad de recrearse continuamente por medio de la creación de oraciones nuevas. Estas oraciones se pueden enunciar en diversos contextos diferentes: para elevar una súplica, para contar un chiste, para preguntar, para dar órdenes para proferir insultos, para expresar deseos y también para formular afirmaciones acerca de los objetos.
Pero de los diversos usos del lenguaje no se puede decir si dicen verdad o no; p.e. de una pregunta no se puede decir si es verdadera o falsa: ¿quién viene? Hay otro tipo de preguntas como: ¿por qué quien ama no busca verdad sino dicha? Esta pregunta en sí tampoco es verdadera o falsa; pero puede ser transformado en un enunciado que sí es susceptible de ser verdadero o falso. Quien ama no busca verdad sino gloria. Lo mismo ocurre con las súplicas, ruegos, exclamaciones, etc. Las únicas oraciones que son susceptibles de ser verdaderas o falsas son aquellas que dicen algo sobre la realidad. A este uso del lenguaje se le llama desde ARISTÓTELES uso apofántico. Sólo el discurso que puede ser verdadero o falso es un discurso apofántico. Pues bien, la lógica formal o simbólica se ocupa fundamentalmente del uso apofántico del lenguaje.
LÓGICA DE ENUNCIADOS.
Enunciados y conectivas.
Es la parte más elemental y fundamental de toda la lógica La lógica formal se nos presenta hoy en día como una forma de cálculo. Pues bien, el cálculo más elemental y esencial es el cálculo lógico.
La lógica de enunciados consiste en un análisis de las relaciones de inferencia entre enunciados o proposiciones.
"la tarea de la lógica es el análisis formal de los razonamientos. Y el lugar de este análisis es el lenguaje. El análisis del razonamiento supone, por tanto, un análisis del lenguaje."
Pero hay diferentes niveles lógicos de análisis del lenguaje. En el que nos encontramos ahora es el más elemental y básico. Y en este nivel se analizan los elementos más básicos del lenguaje que son:
a. Oraciones o frases enteras.
b. Conjunciones en sentido lógico. Unen las diversas oraciones.
Veamos unos ejemplos:
"Cuando se hubieran acabado los mil años, entonces será Satanás soltado de su prisión y saldrá a enturbiar a las naciones que moran en los cuatro ángulos de la tierra,..."
Análisis:
Cuando...Entonces...y...y...
El texto todo él es una proposición compuesta; pero está formado por proposiciones simples a las que se les llama proposiciones atómicas.
Analicemos las siguientes proposiciones:
1. Si la naturaleza de los hombres ha de ser siempre como ahora entonces la corrupción es eterna.
2. Es así que la naturaleza no es siempre como ahora;
3. luego es así que la corrupción no es eterna.
1. Si florecen las hortalizas entonces se marchitan los tulipanes.
2. Es así que no se marchitan los tulipanes;
3. Por tanto, no florecen las hortalizas.
1. Si estudio, apruebo
2. Es así que no he dado ni golpe;
3. Por tanto, no apruebo. (A menos que utilicemos otra estrategia no muy afortunada para mi futuro)
Estos grupos de proposiciones poseen, como todo razonamiento, una forma (sintaxis o estructura) y un contenido (semántica o significado). Vemos que varían en el contenido; pero no así en la forma. Esto nos hace ver que en los razonamientos existen una serie de elementos constantes y otra de elementos variables. Los lógicos se fijan sólo en la forma. Observamos, entonces, que todos estos argumentos se pueden representar de la misma forma:
Si...entonces...
Es así que no...
Luego (por tanto)
No...
Esto representa la forma constante de estos argumentos. Consta de dos elementos. Las PREMISAS que es aquello de lo que partimos, lo que presuponemos. Y, la CONCLUSIÓN que es aquello a lo que hemos llegado. Esta última está implícita en las primeras. Si se nos dan las premisas extraemos lógicamente la conclusión.
Pero con esto no podemos hacer todavía un lenguaje. Y la lógica es un lenguaje simbólico. Es necesario poner -en lugar de los puntos suspensivos- una serie de signos que sustituyan a cualquier tipo de enunciados. A estos signos se les llamará variables lógicas.
Variables y valores de verdad.
El contenido o significado se representa en la lógica de enunciados por variables que pueden ser sustituidas por enunciados cualesquieras. Estas variables siempre sustituyen a un enunciado y no a otros elementos como adverbios o adjetivos. Las letras que se utilizan en lógica como variables de enunciados son: p,q,r,s,t... Estas letras sustituyen a enunciados que han de ser siempre descriptivos. Son los únicos tipos de enunciados que pueden ser verdaderos o falsos. Esto quiere decir que una variable, como p.e. "p" podría tener un valor V (verdadero) o F (falso). Y lo representamos por lo que se llama una TABLA DE VERDAD.
p
---
V
F
Hasta ahora sólo hemos considerado el primer grupo de signos (las variables) que sustituyen a proposiciones atómicas. Tenemos que considerar ahora el segundo grupo de elementos que son los conjuntores Conectivas que unen a las diversas proposiciones atómicas o enunciados. Son las siguientes:
Negador. ¬
Tenemos, p. e. "p" las calles se mojan Lo negamos: las calles no se mojan; entonces tendremos ¬p. Este símbolo es también un enunciado y posee un valor de verdad. Éste valor se pueden representar en lo quese llama una tabla de verdad. En este caso nos quedará lo siguiente:
p ¬p
------
V F
F V
Conjuntor Ù
Si poseemos dos enunciados, una forma de ponerlos en relación es por la conjunción y (Ù). Por ejemplo tenemos dos enunciados. Llueve (p) Las calles se mojan (q). Entonces el enunciado molecular (unión de dos atómicos) se formalizaría de la siguiente forma:
pÙq
Por consiguiente, este enunciado también tendrá un valor de verdad; éste dependerá directamente de los valores de verdad de los enunciados de que están compuestos. Su representación en las tablas de verdad es la que sigue:
pq PÙQ
--------------
VV V
VF F
FV F
FF F
Los miembros de una conjunción pueden estar negados. En este caso tenemos las siguientes posibilidades.
¬pÙ¬q
¬pÙq
pÙ¬q
Se pueden hacer las tablas de verdad como ejercicio.
Disyuntor. Ú
Consiste en unir dos proposiciones atómicas mediante la partícula del lenguaje ordinario "o" (Ú) Esta proposición es ambigua y por eso tiene dos sentidos. 1. Excluyente. 2. No excluyente. ejemplos:
"O se es pagano o se es cristiano"
"Han sido fusilados todas aquellos que presentaban alguna tara somática o defendían ideas disolventes."
El primer caso es el de la disyunción excluyente; porque no se pueden dar las dos cosas a la vez. En el segundo caso no es excluyente; puede darse el caso de que alguien posea las características y haya de ser fusilado.
En el lenguaje ordinario la disyunción mas utilizada es la excluyente; pero en la lógica nosotros vamos a utilizar la no excluyente; porque el caso de la excluyente se contempla en la tabla de verdad de otra conectiva. Es decir que puede ser derivada de otra conectiva. Así cuando decimos: o p o q; lo que queremos decir es que o se da p o q, o ambas cosas a la vez. De tal manera que su tabla de verdad quedaría como sigue.
pq PÚQ
-----------
VV V
VF V
FV V
FF F
Atendiendo a esta tabla podemos hacer los siguientes ejercicios:
¬pÚq
pÚ¬q
(pÚq)Ùr
(¬pÚr)Ù¬q
Condicional. ®
Formaliza enunciados tales como: "Si el alma habla entonces ya no es el alma la que habla" (Chiller)
Formaliza las partículas "Si...entonces..."
Y se simboliza por p®q
Los enunciados que tienen esta forma son los enunciados condicionales. A la primera parte del condicional se les va a llamar antecedente; y a la segunda parte consecuente.
Vamos a ver ahora los valores de verdad de los cuatro caso por separado.
1. Si el antecedente y el consecuente son ambos verdaderos el implicador es lógicamente verdadero.
2. Si el antecedente es verdadero y el consecuente falso; tampoco tenemos problemas, el implicador (condicional será falso. Estamos diciendo, si p, entonces q. si es el caso que se da p(v) y no se da q (f) entonces no es posible que p entonces q sea verdadero.
3. Es el que presenta más problematicidad. Si el antecedente es falso y el consecuente verdadero; entonces: si p, entonces q será verdadero. Lo que estamos diciendo es que p es condición suficiente, no necesaria de que se de q. Por tanto, al no ser condición necesaria q puede ser verdadero aunque no lo sea p.
4. Que el antecedente sea falso y también el consecuente. El condicional sin ningún tipo de problemas será verdadero.
Así que la tabla de verdad sería la siguiente:
pq p®q
-------------
VV V
VF F
FV V
FF V
Construyamos una expresión lógica con las cuatro conectivas y hallemos su tabla de verdad:
[(pÙq)®r]Ú[(¬qÙs)®r]
Formalizar el siguiente enunciado:
"Si acepto el mundo que me ofrecen y soy feliz así, entonces empiezo a cavar mi propia sepultura.; o bien, si no soy feliz así, y no veo tampoco posibilidad de cambiar este mundo, emprendo así mismo mi propio autoenterramiento."
Bicondicional «
O coimplicador. Con el condicional queremos decir que si se da el hecho p se puede dar q. Es condición suficiente, pero no necesaria. Ahora bien, el bicondicional expresa la necesidad. Es condición suficiente y necesaria. Y se leería: Sí y sólo sí se da p entonces se da q. Podemos también entenderlo como la doble dirección del condicional. Si p entonces q; y, también, si q entonces p. Es decir que se podría expresar como sigue:
(p®q)Ù(q®p)
Es lo mismo que:
(p«q)
Y, su tabla de verdad será:
pq p«q
--------------
VV V
VF F
FV F
FF V
Hallar la tabla de verdad de la siguiente expresión lógica.
[(¬pÚq)®r]«[(pÙ¬q)Úr]
Tautologías, consistencias y contradicciones.
Hemos aprendido hasta ahora a traducir el lenguaje ordinario al lenguaje lógico. Como venimos diciendo, la lógica se ocupa del análisis formal de nuestro pensamiento.
Con lo que hemos visto hasta ahora, poseemos ya un método de análisis de nuestro pensamiento (razonamientos) que nos permite saber si son correctos; o, por el contrario, retórica barata. Y este método es el de las tablas de verdad. En este sentido, analizando los últimos resultados de la última columna podemos decir de un argumento que es:
a. Tautológico: si todos los valores de verdad son V
b. Consistente: si unos son V y otros F
c. Contradictorio: si todos los valores de verdad son F.
Atendiendo a estas últimas definiciones decir qué clases de argumentos son las siguientes expresiones lógicas.
[(p®q)Ù(q®r)]®(p®r)
[(pÚq)®r]®(pÚr)
[(pÚr)®p]®[(qÚr)Ù(¬qÙ¬r)]
Formalizaciones y tablas de verdad.
Formalizar los siguientes argumentos de la lógica de predicados. Hallar su tabla de verdad.
La Luna es mayor que el sol y el sol es mayor que la tierra. Por tanto, la luna es mayor que la tierra.
La luna es menor que el sol y el sol es menor que la tierra. Por tanto la luna es menor que la tierra.
Demostrar por el método de las tablas de verdad si el siguiente argumento es correcto.
Si suben los salarios entonces suben los precios; si suben los precios, entonces baja el poder adquisitivo de la moneda. Es así que suben los salarios. Luego baja el poder adquisitivo de la moneda.
formalizar y realizar la tabla de verdad de los siguientes argumentos tomados de la física.
"Si una masa m se mueve rectilínea y uniformemente con respecto a un sistema de coordenadas K, también se moverá rectilínea y uniformemente con respecto a un sistema de coordenadas k´, siempre que éste último ejecute con respecto K un movimiento de traslación uniforme."
Einstein. "Sobre la teoría especial y general de la relatividad."
Si alguien toma una lámpara de 200 W y se aleja en la noche una distancia desconocida de un observador, se puede determinar con relativa facilidad esta distancia desconocida. si se observa el brillo de la lámpara de 200 W y se compara este brillo aparente con el brillo absoluto o real de la lámpara, entonces, se puede prontamente concluir que hay una sola distancia posible entre el observador y la lámpara."
Kaufman. "Relatividad y cosmología."
REGLAS DEL CÁLCULO DE ENUNCIADOS. CÁLCULO LÓGICO.
Derivaciones e inferencias.
La lógica puede concebirse también como un sistema de cálculo. Podemos estudiar la lógica de dos formas.
a. Como un sistema formal axiomático. el ideal de toda ciencia es el de la axiomatización.
b. como un sistema de cálculo natural. Éste consta de un conjunto de reglas primitivas a partir de las cuáles nosotros podemos realizar inferencias. ¿qué es una inferencia o derivación? Consiste en derivar de un conjunto de premisas dadas (n) una conclusión; utilizando para ello un conjunto de reglas. Entre estas reglas existen ocho que llamaremos "reglas primitivas del cálculo" existen dos para cada conector: una de introducción y otra de eliminación.
1. Regla de eliminación del negador. Llamada también de la doble negación.
R.E. ¬ O, también. D.N.
¬¬X
----
X D.N.
2. Regla de introducción del negador. Llamada también reducción al absurdo.
R.I.¬ O, también, Red. abs.
X
|
YÙ¬Y
-----
¬X Red. Abs.
3. Regla de introducción del disyuntor. Llamada también de la adición.
R.I. Ú O, también Ad.
X
---
XÚY Ad.
4. Regla de la eliminación del disyuntor. Usualmente es conocida como la prueba por casos.
R.E. Ú o, También, Prueba de Casos.
XÚY
X
Z
----
Y
Z
-----
Z Casos.
5. Regla de introducción del conjuntor. Conocida como el producto.
R.I. Ù O, también. Prod.
X
Y
---
XÙY Prod.
6. Regla de la eliminación de la conjunción. Llamada también de la simplificación.
R.E.Ù O, también, Simp.
XÙY XÙY
--- ---
X Simp. Y Simp.
7. Regla de introducción del condicional. Se le llama también teorema de la deducción.
R.I. ® O, también, T.D.
X
Y
----
X®Y T.D.
8. Regla de eliminación del condicional. Se le denomina también Modus Ponens.
R.E. ® O, también, M.P.
X®Y
X
----
Y M.P.
Reglas prácticas del cálculo natural.
1. Hay que asegurarse de que el argumento está debidamente formulado.
2. Tendremos que ver si se puede hacer una deducción directa. si ello es posible la efectuamos.
3. Si la conclusión es una implicación, puede introducirse como supuesto provisional (hipótesis de trabajo) el antecedente de la misma. con lo cual se reduce el problema a obtener el consecuente y aplicar, por último, el teorema de la deducción.
4. Si en las premisas figura una disyunción, se darán provisionalmente por supuesto cada una de sus partes (variables); y se tratará de deducir de cada una de ellas la conclusión o, en su caso, la fórmula que deseemos obtener. Esto es la prueba de casos.
5. Si la conclusión es negativa podemos proceder por la reducción al absurdo y negar la misma hasta que lleguemos a una contradicción. en cualquier caso, siempre podemos negar la conclusión (si no vemos cómo podemos empezar) y hacer una reducción al absurdo.
6. Siempre que se pueda aplicar el modus ponens se aplica.
CASOS PRÁCTICOS.
1. Derivar el siguiente esquema de inferencia.
-1 p®q _p®r
-2 q®r
2. Derivar el siguiente esquema de inferencia.
-1 (pÙq)®r _(pÙq)®s
-2 r®s
3. Formalizar y resolver el siguiente argumento de la lógica de predicados.
Si no hay un control de nacimientos, entonces la población crece ilimitadamente. Pero si la población crece ilimitadamente, aumentará el índice de pobreza. Por consiguiente, si no hay control de nacimientos, aumentará el índice de pobreza.
4. Resolver mediante el método de la reducción al absurdo el siguiente argumento.
-1 p®¬q _¬(pÙr)
-2 r®q
************************
1. Formalizar y derivar el siguiente argumento que pertenece al diálogo platónico "Parménides".
Si lo uno está en movimiento, éste habrá de ser, o de movimiento sin cambio en el estado, o de alteración.
No puede tratarse de un movimiento de alteración,porque entonces lo uno dejaría de ser uno.
si se tratara de lo primero, tendría que ser, o bien rotación de lo uno sobre sí mismo en el propio lugar en el que se encuentra, o bien cambio de un lugar a otro. Ninguna de los dos cosas ocurre, sin embargo.
Luego lo uno no está sujeto a ningún tipo de movimiento.
2.Formalizar y demostrar el siguiente argumento de la lógica de enunciados.
Si los jóvenes socialistas alemanes apoyan a Brand, entonces renuncian a su programa de reivindicaciones. Y si combaten a Brand, entonces favorecen a Straus. Pero una de dos; o apoyan a Brand o lo combaten. Por consiguiente, habrán de renunciar a su programa de reivindicaciones o favorecer a Straus.
3.Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia.
(pÙq)®r _(pÙqÙs)®t
(rÙs)®t
4.Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia por el método de la reducción al absurdo.
¬p®p _p
5. Demostrar la validez del siguiente argumento:
Si dos gases tienen la misma temperatura, entonces sus moléculas tienen el mismo promedio de energías cinéticas. volúmenes iguales de dos gases tienen el mismo número de moléculas. Las presiones de dos gases son iguales si es el mismo su número de moléculas y sus energías cinéticas son iguales. Por consiguiente, si dos gases tienen la misma temperatura y el mismo volumen tienen la misma presión.
REGLAS DERIVADAS DEL CÁLCULO DE ENUNCIADOS.
1. Identidad.
A
---
A ident.
2. Modus Tollens.
A®B
¬B
----
¬A M.T.
3. Carga de premisas.
A
---
B®A c.p.
4. Silogismo disyuntivo.
AÚB AÚB
¬A ¬B
---- ----
B S.D. A S.D.
5. Reglas de De Morgan.
¬(AÚB) ¬(AÙB)
------ ------
¬AÙ¬B Morgan. ¬AÚ¬B Morgan.
6. Ex contraditioni qualibet.
AÙ¬A
----
B E.C.Q.
Como ejercicio práctico se pueden intentar demostrar las reglas a partir de las que ya sabemos (primitivas.)
1. Resolver el siguiente argumento:
p®(qÚr) _p®s
q®r
r®s
2. Resolver por reducción al absurdo este esquema de inferencia.
A®C _(B®A)
¬(B®C)
3.Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia.
s®t
t®s
tÚp _p
s®¬w
w
4.Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia.
p®q
rÚs _¬p
s®¬q
¬r
5. Derivar el siguiente esquema de inferencia.
r®p
¬q®¬r
s®q _(rÚs)®t
(pÙq)®t
¬sÚp
6. Demostrar si el siguiente argumento extraído de la obra platónica "Parménides" es correcto.
-empecemos, pues. si lo uno es, ¿no es cierto que no podría ser muchos?
-¿Cómo podría serlo?
-Y entonces no podrá tener partes ni ser un todo.
-¿por qué?
-Porque la parte, parte es de un todo.
-Ciertamente.
-¿Y no es un todo aquello a lo que no falta parte alguna?
-Desde luego.
-Y en ambos casos -ya se le considere como un todo, ya se le considere como dotado de partes- lo uno habría de ser compuesto.
-Necesariamente.
-De modo que en ambos casos lo uno resultaría ser muchos y no uno.
-cierto.
-Pero necesariamente lo uno no es muchos sino uno.
-Así es.
-Luego si lo uno es uno, ni es un todo ni tiene partes.
1. Demostrar si la siguiente expresión lógica es una tautología.
((pÙq)®r)«((pÙ¬r)®¬q)[1]
2. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia.
¬p®p _p
3. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:
p®q
r®p
¬r®¬t _qÚu
¬(sÙ¬r)
tÚs
4. Demostrar si San Agustín se engañaba o existía.
"Si me engaño, existo. El que no existe no puede engañarse; luego yo existo si me engaño."
San Agustín. La Ciudad de Dios.
5. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia.
(pÙq)®r
r®s _¬p
qÙ¬s
Examen: LÓGICA. Opción:A
1. Derivar el siguiente esquema de inferencia:
s®(pÚr)
t®s _¬t
¬(pÚr)
2. Demostrar la siguiente regla derivada:
pÙ¬p _q
3. Formalizar y derivar el siguiente dilema:
Ni contigo ni sin ti,
tienen mis males remedios;
contigo porque me matas,
y, contigo, porque me muero.[2]
4. Demostrar la validez de la siguiente argumentación detectivesca.
Usted regresó del club la noche pasada con restos de tizas entre el índice y el pulgar de su mano derecha.
Cuando usted juega al billar se da tiza en ese sitio con objeto de afianzar el taco.
No juega al billar si no es con Thorton.
Hará cuatro semanas que me dijo usted que Thorton tenía una opción sobre determinados valores sudamericanos que espiraban al cumplirse un mes; y que deseaba que entrase con él en el negocio.
Si entrase con él en el negocio tendría que utilizar un talonario de cheques que usted guarda bajo llave en la mesa del despacho, y si utiliza su talonario tendría que pedir la llave, y no me ha pedido la llave que pedirme la llave.
Por consiguiente, no se propone invertir su dinero en ese negocio.
Examen: Lógica. Opción:B
1. Demostrar la siguiente inferencia lógica:
pÙr
p®(¬qÙs) _¬p
p®(r®(qÙs)
2. Demostrar la siguiente ley derivada.
pÚq
¬p _q
3. Formalizar y derivar el siguiente argumento.
Me matan si no trabajo;
y si trabajo me matan;
me matan, siempre me matan.
4. Demostrar la validez de la siguiente argumentación detectivesca.
Usted regresó del club la noche pasada con restos de tizas entre el índice y el pulgar de su mano derecha.
Cuando usted juega al billar se da tiza en ese sitio con objeto de afianzar el taco.
No juega al billar si no es con Thorton.
Hará cuatro semanas que me dijo usted que Thorton tenía una opción sobre determinados valores sudamericanos que espiraban al cumplirse un mes; y que deseaba que entrase con él en el negocio.
Si entrase con él en el negocio tendría que utilizar un talonario de cheques que usted guarda bajo llave en la mesa del despacho, y si utiliza su talonario tendría que pedir la llave, y no me ha pedido la llave que pedirme la llave.
Por consiguiente, no se propone invertir su dinero en ese negocio.
LÓGICA DE PREDICADOS.
Pretendemos ahora profundizar un poco en nuestro análisis. de momento hemos analizado -en nuestro esqueleto lógico (la lógica de enunciados o proposicional)- sólo proposiciones. siendo las unidades mínimas de análisis las proposiciones atómicas. es el momento de pasar a un análisis más pormenorizado del lenguaje ordinario. Y esto es lo que nos va a permitir este nuevo paso en la lógica. La nueva posibilidad que se nos presenta es la de analizar, por separado, los nombres de los predicados.
La lógica de enunciados tiene ciertas limitaciones en su análisis. No nos permite analizar con rigurosisdad determinados argumentos del lenguaje científico y cotidiano. Pongamos como ejemplo el siguiente argumento.
Todos los hombres son mortales.
Sócrates es hombre.
Luego sócrates es mortal.
si formalizamos este enunciado según la lógica de enunciados se nos presentan algunos problemas. Veamos:
p
q o, también. (pÙq)®r
_r
Este argumento no es derivable. Si hacemos su tabla de verdad no obtendremos como resultado una tautología. sin embargo intuimos que esto es una forma correcta de argumentar. Es más, no dudamos de la verosimilitud del argumento. LO que sucede es que necesitamos un arma de análisis lógico más poderosa. Pues bien, la lógica de predicados (también llamada cuantificacional viene aquí en nuestra ayuda.)
Podemos analizar los distintos elementos que hay en una proposición. Estos son, como sabemos, los nombres y los predicados. Así, los nombres llevaran las letras (a,b,c,...) y los predicados las letras (P,Q,R,S,T...)Si nos fijamos ahora en los enunciados del argumento anterior tenemos que: ser mortal es el predicado del primer enunciado; y lo sustituimos por P y hombres es el nombre y lo sustituimos por a. Así leeremos Pa. Y leeremos a tiene la propiedad P. Hay que tener en cuenta aquí, que la lógica de predicados es la teoría de conjuntos que ya habéis visto a lo largo de vuestros estudios.
Cuando el verbo implique una relación, entonces aparceran más nombres. Por ejemplo: Pedro quiere jugar con Juan. LO expresaremos por: Pab. Y lo leeremos: a está en la relación P con b. Esto será un predicado "poliádico". Estos son aquellos que tienen doas o más nombres. A partir de aquí surgen las lógicas relacionales.¡Pero no hay que asustarse! No entraremos en estos detalles. Nosotros sólo vamos a analizar enunciados que llamamos monádicos que son aquellos en los que sólo interviene un nombre. Es decir, que consideramos como único al dominio del conjunto en cuestión.
Otro análisis que nos permite la lógica proposicional es la cuantificación de los predicados. Es decir, que podemos formalizar en lenguaje lógico la extensión en la que están formulados los argumentos: singular o universal.
Los enunciados universales son aquellos que se refieren a la totalidad del conjunto; y se enuncian como siguen: Todos los..... Los enunciados singulares son aquellos que se refieren sólo a una parte de los elementos del conjunto. Y se enuncian como sigue: algunos...
A esto dos nuevos elementos se les llama los cuantificadores. Son dos nuevas constantes lógicas; mientras que los nombres y los predicados son variables. Ya estamos, pues, en disposición de analizar argumentos del tipo que pusimos al principio.
El cuantificador llamado universal es el resultado de la conjunción. Y se expresa como una conjunción mayúscula:Ù. Por ejemplo si tenemos el enunciado "Todos los cuervos son negros" lo que estamos diciendo es que cualquier elemento del conjunto de los cuervos cumple la característica ser negro. Así, si el conjunto de los cuervos es:
x(a,b,c,...n)
entonces cuando decimos que todos los x son negros (P) lo expresamos como:
ÙxPx; y lo leemos: todos los cumplen la propiedad P; esto es: a cumple la propiedad P y be cumple la propiedad P y c cumple la propiedad P...
O, lo que es lo mismo:
ÙxPx= PaÙPbÙPcÙ...ÙPn
O expresado en lenguaje ordinario. LO que se dice de uno de los elementos se dice de todos. LO que vale para uno vale para todos.
Por el contrario, el cuantificador singular o particular; o también llamado existencial; lo que expresa es que algún elemento del conjunto x expresa la propiedad P. Entonces el cuantificador singular es el resultado de una sucesión de disyunciones. Tengamos p. e. el enunciado: "algunos estudiantes son unos portentos".si x es el conjunto de los estudiantes diremos que algunas de los x cumple la propiedad P (ser un portento) Y lo expresamos con el signo de la disyunción en mayúsculas: Ú.
Si x es el conjunto de los estudiantes, entonces podemos escribir:
x=(a,b,c,...n)
Y si decimos que algunos de los x es un P (ser un portento y esto lo expresamos:
ÚxPx Esto se lee: existe al menos un x tal que x cumple la propiedad P. Lo que queremos decir es que o bien a, o b, o c,etc cumplen la propiedad P. O expresado de otro modo:
PaÚPbÚPc...ÚPn
Es decir, que en el cuantificador existencial lo que vale para uno no vale para todos.
***************
Al tener dos nuevas constantes lógicas tendremos dos nuevas reglas de derivación. Una de introducción y otra de eliminación. empecemos por las del cuantificador universal:
1. Regla de introducción del generalizador (universal). Su esquema lógico es el que sigue:
ÙxPx
Pa R.E.Ù O, mejor. E.G.
Es decir, que si todos los elementos cumplen la propiedad P alguno de ellos a, también la cumplen.
2. Regla de introducción del generalizador. su esquema lógico es el siguiente:
Pa
ÙxPx I.G.
Es decir, que en el generalizador lo que vale para uno vale para todos.
3. Regla de introducción del particularizador. su esquema lógico es el que sigue:
Pa
ÚxPx I.P.
Es decir, que si a cumple la propiedad P, entonces existe al menos un x que cumple la propiedad P
4. Es la única que presenta un poco de dificultad. Es la de la eliminación del particularizador. Y esa dificultad es porque su base es el disyuntor. Por ello se asemeja a la prueba de casos. cuando nos encontramos con un particularizador en las premisas, para eliminarlo lo tenemos que proponer como Hipótesis; ya que no sabemos cual de los elementos del conjunto cumple la propiedad en cuestión. Hasta que lleguemos a la conclusión del problema. entonces cerramos y eliminamos el particularizador. Y, seguidamente lo introducimos. el esquema lógico es el que sigue:
ÚXpx
Pa
Z
Z E.P.
*************
EJERCICIOS DE LÓGICA DE PREDICADOS.
1. Formalizar los siguientes argumentos:[3]
Todo griego es europeo.
Todo ateniense es griego.
Por tanto, todo ateniense es europeo.
Algunos vascos son franceses.
Ningún francés es español.
Por tanto, algunos vascos no son españoles.
2. Formaliza los siguientes argumentos:
Si todo ser vivo se caracteriza por poseer membrana; y ningún virus se caracteriza por poseerla. Entonces, ningún virus es un ser vivo.
Ningún griego es cobarde, Y algunos habitantes de Atenas son griegos; luego algunos habitantes de Atenas no son cobardes.
3. Derivar los argumentos anteriores.
EJERCICIOS DE LÓGICA DE PREDICADOS.
1. Derivar el siguiente esquema de inferencia d la lógica de predicados.
_X(Px®Qx) _ _x(¬Qx®¬Px)
2. Formalizar y demostrar la validez del siguiente argumento tomado de Lewis Carroll.
Ningún ánade baila el vals
Ningún oficial declina nunca una invitación a bailar el
vals.
Todas mis aves de corral son ánades
Mis aves de corral no son oficiales
3. Formalizar y derivar el siguiente argumento de la lógica de predicados.
Todos los colibries tienen vivos colores
Ningún pájaro de gran tamaño se alimenta de miel
Los pájaros que no se alimentan de miel tienen colores
apagados
Todos los colibries son de pequeño tamaño
4. Demostrar la validez del siguiente argumento.
Todos los miembros de la Cámara de los Comunes tienen
perfecto dominio de si mismos
Ningún parlamentario que use corona de nobleza participaría en una carrera de burros
Todos los miembros de la Cámara de los Lores usan corona de nobleza
Ningún miembro del Parlamento participaría en una carrera de burros a menos que tuviera un perfecto dominio de si mismo
5. Demostrar la validez del siguiente argumento.
Ningún poema interesante es mal recibido entre gentes de buen
gusto
Ningún poema moderno esta libre de afectación
Todos sus poemas de usted versan acerca de pompas de jabón
Ningún poema afectado goza de aceptación entre gentes de buen gusto
Ningún poema antiguo versa acerca de pompas de jabón
Todos sus poemas carecen de interés.
6. Y, por último, uno para campeones.
En el siglo xIx un democrata podia ser tanto liberal como socialista. Los liberales aceptaban la revolucion industrial y defendían la institucion de la propiedad privada de los medios de producción, el establecimiento de una economia de mercado autoregulada y la conversion del trabajo en mercancia. Los socialistas aceptaban también la revolucion industrial, pero rechazaban esos tres puntos de la ideologia liberal. Los conservadores, por su parte rechazaban la revolucion industrial. De ello se desprende que ni los liberales ni los socialistas eran conservadores, que ningun liberal era socialista y que ningun conservador era democrata.
EJERCICIOS.
1. Formalizar y demostrar la validez del siguiente argumento.
Solamente las personas bien educadas están suscritas al Times.
Ningún puercoespín sabe leer.
Las personas bien educadas saben leer.
Ningún puercoespín está suscrito al Times.
2. Formalizar y derivar el siguiente argumento:
Todos los animales que no cocean son flemáticos
Los asnos no tienen cuernos
Un búfalo puede siempre lanzarlo a uno contra una puerta
Ningún animal que cocea es fácil de engullir
Ningún animal sin cuernos puede lanzarlo a uno contra una puerta
Todos los animales son excitables, excepto los búfalos
Los asnos no son fáciles de engullir
3. Derivar el siguiente esquema de inferencia:
s®q _[p®q®r)]®[p®(s®r)]
EXAMEN DE LÓGICA.
1º De Bachiller. Opción: A
1. Demostrar la validez de los siguientes esquemas de inferencia.
A. p®q
r®s _qÚs
pÚs
B. p®(q®r) _q®(p®r)
2. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia de la lógica de enunciados.
_x(Qx®¬Px)
_x(RxÙQx) __x(RxÙ¬Px)
3. Formalizar y derivar el siguiente argumento de la lógica de predicados.
Todo leninista es marxista.
Todo comunista que no sea estalinista o es leninista o es trotskista.
No hay nadie que sea estalinista o trostkista y no sea marxista.
Por consiguiente; todos los comunistas son marxistas.
EXAMEN DE LÓGICA.
1º DE Bachiller. Opción:B
1. Demostrar la validez de las siguientes inferencias de la lógica de enunciados.
A. pÚq
p®s _rÚs
q®r
B. (pÚq)®r _(p®r)Ú(q®r)
2. Demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia de la lógica de ensuciados.
_x(Px®Qx)
_x(RxÙ¬Qx) __x(RxÙ¬Px)
3. Demostrar la validez del siguiente argumento de la lógica de predicados.
Ni una sola de las cosas que salen al paso y sin embargo quedan inadvertidas en un viaje espacial son marcianos.
Las cosas que salen al paso en un viaje espacial y son anotadas en el libro de rutas son, con toda seguridad, dignas de ser recordadas.
Jamás, durante un viaje espacial, encontré nada digno de ser recordado.
Las cosas que salen al paso y son advertidas en un viaje espacial son, con toda seguridad, anotadas en el libro de rutas.
Nunca en las cosas que me salieron en mis viajes espaciales al paso encontré un marciano.
EXAMEN DE RECUPERACIÓN: LÓGICA
1º De bachillerato. Grupo: C
1. Demostrar la validez de las siguientes inferencias de la lógica de enunciados:
A. pÙr
p® ¬(qÙs) _¬p
p®[r®qÙs)]
b. ¬t®r
¬r _t
2. Demostrar la validez de la siguiente inferencia de la lógica de predicados.
_x(PxÙQx)
_x(Px®Rx) __s(RxÙQx)
3. Demostrar la validez del siguiente argumento de la lógica de predicados.
Solamente las personas bien educadas están suscritas al Times.
Ningún puercoespín sabe leer.
Las personas bien educadas saben leer.
Ningún puercoespín está suscrito al Times.
[1]La segunda parte del coimplicador se puede considerar como la conclusión en el esquema de inferencia.
[3]Cuando queremos formalizar lo que hay dentro de los cuantificadores tenemos que tener en cuenta que un generalizador afecta siempre a un implicador. Por ejemplo:todos los hombres son mortales. P (ser hombre) Q(ser mortal) x es el conjunto de los hombres. Diremos: Ùx (Px®Qx) y lo leemos como sigue: para todo x si x es hombre entonces x es mortal. Y en el caso del particularizador, como lo que analiza es un disyuntor pues lo que está dentro del paréntesis será un conjuntor. Veamos el ejemplo: hay algunos
alumnos que pierden el tiempo olímpicamente. x es el conjunto de los alumnos. P ser alumno; Q perder el tiempo. entonces escribiremos: Úx(PxÙQx). Y lo leemos como sigue: Existe al menos un x tal que s es alumno y x pierde el tiempo olímpicamente.
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